זרם חילופין

האות הסינוסואידלי

כפי שראינו בחלק הקודם, מחולל זרם חילופין, שהינו למעשה אוסף של כריכות המסתובבות בשדה מגנטי, מייצר כא”מ המשתנה ומתחלף בצורת אות סינוס,

אות חשמלי שצורת התנהגותו בזמן מבוססת על פונקצית הסינוס באופן מחזורי נקרא אות סינוסואידלי. הכא”מ המושרה המיוצר במחולל הוא אות סינוסואידלי וכך גם זרם החילופין אשר יזרום במעגל חשמלי וגם מתח החילופין שבין הדקי המחולל ומתח החילופין המתפתח על הצרכנים במעגל.

משום כך, לפני שנוכל לפתור את מעגל זרם החילופין ולחשב בו מתחים, זרמים והספקים עלינו להכיר מספר מונחים בסיסיים בקשר לאות הסינוסואידלי. המונחים הבסיסים אשר נלמד בפרק זה ישמשו אותנו בהמשך כשנגיע לשלב בו ננתח את פעולת מעגל זרם החילופין.

המשוואה הכללית של אות סינוסואידלי A(t) כלשהו היא מהצורה,

A – המשרעת המרבית (אמפליטודה בלעז), בוולט V עבור מתח או באמפר A עבור זרם
ω – התדירות הזוויתית, ברדיאנים לשנייה rad/sec
t – זמן, בשניות sec
ϕ – מופע (פאזה בלעז), ברדיאנים rad

מאפייני האות הסינוסי

למשל, מקורות מתח חילופין שונים יכולים לייצר כא”מ בעל משרעת מרבית שונה, תדר זוויתי שונה, ואף המוזזים בזמן אחד ביחס לשני. ההזזה בזמן אחד ביחס לשני מתקבלת מהוספת ערך התחלתי שונה מאפס ברגע ההתחלה, ברגע t=0, לזווית הסינוס. הערך ההתחלתי המתווסף לתדר הזוויתי נקרא זווית מופע או מופע בקיצור.

נזכיר שהתדירות הזוויתית מחושבת מתוך זמן המחזור T של האות באופן הבא,

f – תדירות האות, ביחידות של מספר מחזורים לשנייה #cycles/sec
T – משך זמן המחזור, ביחידות של שנייה sec
ω – התדירות הזוויתית, ברדיאנים לשנייה rad/sec

אנחנו נגביל עצמנו לערוך חישובים אך ורק בין אותות סינוסואידליים בעלי אותה תדירות f ואותה תדירות זוויתית ω!

כלומר, לא נערב במעגל החשמלי מקורות מתח חילופין בעלי תדירות שונה.

מכאן שעבורנו, האותות במעגל החשמלי של זרם חילופין יכולים להיות שונים ביניהם רק במשרעת ואו בזווית המופע ההתחלתית.

לשם ההמחשה, האיור הבא מראה שני אותות מתח חילופין הזהים בכל מאפייניהם מלבד המשרעת המרבית,

שני אותות זהים בעלי משרעת שונה

שני אותות סינוסואידליים הם בעלי אותו מופע כאשר שניהם מגיעים לשיא באותה נקודה בזמן, כמו באיור שלעיל. כאשר כל אות מגיע לשיא בזמן אחר קיים הפרש מופע בין שניהם. האות שמגיע ראשון לנקודת השיא שלו נקרא אות המקדים את האות האחר או אות מקדים בקיצור. לחילופין, האות שמגיע שני לנקודת השיא שלו נקרא אות המאחר את האות האחר או אות מאחר בקיצור. המדידה מתבצעת ביחס לנקודת זמן התחלתית (t=0). האות הוא מקדים או מאחר בערך המוחלט של הפרש זוויות המופע של שני האותות.

באיור הבא נראים שני אותות סינוסואידליים הזהים בכל מאפייניהם מלבד המופע ההתחלתי,

שני אותות זהים בעלי הפרש מופע

כעת אחרי שהכרנו את האות הסינוסואידלי ואת הגדלים המאפיינים שלו נוכל להמשיך בביצוע פעולות חישוב עליו.

חישוב ערך ממוצע של אות סינוסואידלי

גודל אחד על הפונקציה שלעיל שישמש אותנו בהמשך הוא מציאת הערך הממוצע של האות.

דרך מדויקת למציאת הערך הממוצע היא בעזרת חישוב אינטגרל על הפונקציה לשם מציאת גודל השטח הכלוא בינה ובין ציר x. אחרי מציאת גודל השטח נוכל לחלק אותו ברוחבו המונח על ציר x וכך למצוא את גובהו שהוא הערך הממוצע המבוקש.

ערך ממוצע של אות סינוסואידלי

מטעמי סימטריה, נוכל להקל ולבצע את חישוב השטח S רק על חצי המחזור,

כדי למצוא את הערך הממוצע של A(t) נחלק את השטח שקיבלנו באורכו,

כלומר, הערך הממוצע של אות הסינוס שווה למשרעת המרבית שלו כשהיא מוכפלת פי 2 ומחולקת ב- π. נציין ונבהיר שמטעמי סימטריה של אות הסינוס אין לזווית המופע של האות השפעה על החישוב.

פעולות חישוב עם אותות סינוסואידליים

כפי שכבר ציינו קודם, במעגלי זרם חילופין נעסוק אך ורק במתחים ובזרמים בעלי אותו תדר f ואותה תדירות זוויתית ω. מכאן שהאותות הסינוסואידליים שנעסוק בהם יהיו נבדלים זה מזה רק במשרעת ובפאזה. משום כך, נוכל לייצג כל אות סינוסואידלי על-ידי ווקטור. המשרעת של האות תיוצג על-ידי ערכו המוחלט של הווקטור והפאזה של האות תיוצג על-ידי הזווית של הווקטור ביחס לציר x.

לדוגמה, באיור הבא נראים ווקטורים המייצגים מספר אותות סינוסואידליים,

ייצוג ווקטורי של אות סינוסואידלי

הייצוג הווקטורי של אות סינוסואידלי מאפשר לנו לבצע בקלות פעולות חיבור בין אותות סינוסואידליים. פעולת החישוב תהיה פעולת חישוב בין שני ווקטורים. בין שני ווקטורים נוכל לבצע פעולת חישוב תוך שימוש בשיטה הגרפית.

נזכיר את השלבים שבשיטה הגרפית לביצוע פעולת חיבור בין שני ווקטורים:
    א. נשרטט את שני הווקטורים על מערכת צירים, כששניהם יוצאים מראשית הצירים
    ב. נשלים משני הווקטורים צורה של מקבילית
    ג. תוצאת החיבור של שני הווקטורים היא ווקטור המתחיל בראשית הצירים והמסתיים בפינה של המקבילית שאף אחת מצלעותיה היא לא אף אחד מהווקטורים המקוריים (אם יש כזו).

דוגמה לחיבור ווקטורי בשיטת המקבילית

כאשר נרצה לבצע פעולת חיסור בין שני ווקטורים, פשוט נשרטט את הווקטור השני (המחסר מבין השניים) בכיוון ההפוך לו, כלומר, בתוספת של 180 מעלות.

דוגמה לחיסור ווקטורי בשיטת המקבילית

לפעמים נצטרך להכפיל או לחלק אות סינוסואידלי בגודל סקלאר. סקאלר הינו גודל מספרי חסר כיוון או זווית. כדי להכפיל או לחלק ווקטור בסקלאר ניתן פשוט להכפיל או לחלק את עוצמת הווקטור בסקלר, כאשר זוויתו נשארת ללא שינוי.

לדוגמה, חלוקה של ווקטור שעוצמתו 10 וזוויתו 45 מעלות בסקלאר שערכו 2 תיתן ווקטור שעוצמתו היא 5 וזוויתו 45 מעלות.

מצוידים בידע זה נוכל לבוא ולנתח מעגלי זרם חילופין בסיסיים.