שיטת זרמי חוגים

(Mesh current method)

אפשר לפתור רשתות בשיטות רבות, כמה מהן נלמדו עד עתה, אך “חכם עינו בראשו”. כשישנו מעגל חשמלי שכולל שלושה מקורות אנרגיה ויותר, שלא ניתנים לצמצום ביניהם, אין טעם לבחור דווקא במשפט ההרכבה לפתרון מעגל זה. אמנם משפט זה נחשב כפשוט לפתרון מעגלים, אך מאחר שהוא תלוי במספר מקורות האנרגיה, במצב נתון זה, הפתרון יהיה ארוך ומסורבל.

יש שיטות נוספות לפתרון מעגלים שאינן תלויות בכמות מקורות האנרגיה במעגל. אחת מהן הקשורה במספר חוגי המעגל הבלתי תלויים, נקראת בשם: שיטת זרמי חוגים.

מטרת העל בשיטה הזאת היא למצוא את הזרמים בכל החוגים של המעגל. זרם החוג הוא הזרם שהיה זורם דרך כל הרכיבים של אותו החוג. כשרכיב שייך לחוג אחד בלבד, זרם החוג הוא גם הזרם האמיתי דרך הרכיב, אך כשהרכיב שייך לשני חוגים, או יותר, אפשר לחשב את הזרם האמיתי בכל ענף על ידי הרכבת זרמי כל החוגים שאותו ענף שייך להם. יש הקוראים לזרם החוג גם בשם זרם עניבה, אך עדיין יש הבדל בין עניבה לחוג: עניבה היא חוג בלתי תלוי.

שיטת זרמי חוגים/עניבות מתבססת בעיקרה על חוק המתחים של קירכהוף ועל פתרון של מערכת משוואות. מספר המשוואות  שיש לרשום, בשיטה הזאת, כדי לפתור מעגל נתון, יהיה כמספר החוגים הבלתי תלויים (“הנראים לעין”).

כדי להבין את העיקרון בשיטת זרמי חוגים, נתבונן במעגל שבאיור 

לצורך הפתרון נתמקד אך ורק בשתי העניבות. נקבע את כיוון הזרם באותם שני כחוגים באופן שרירותי (סתמי). למשל נקבע את שני כיווני זרמי החוג “עם כיוון השעון” ונסמנם בשמות I1 ו- I2:

תרגיל דוגמה נתונה הרשת שבאיור 

חשבו את:

א.      זרם דרך הנגד R4 וכיוונו

ב.       הספק המתפתח בנגד R2

ג.        הפרש המתחים בין הנקודות X ו- Y

פתרון תרגיל דוגמה 

נקבע את כל זרמי החוג עם כיוון השעון ונבנה שלוש משוואות בצורה מקוצרת:

רישום המשוואות בצורה מטריציאלית תרגול

פשר לחשב את  זרמי החוגים על ידי פתרון שלוש משוואות עם שלושה נעלמים. זוהי דרך ארוכה במקצת.

נציג כאן דרך אחרת הנקראת בשם שיטת קרמר לפתרון מערכת משוואות. גם היא דרך ארוכה אך ניתנת לחישוב מהיר באמצעות מחשבון כיס.

ראשית, נרשום את משוואת החוגים המטריציאלית, המתאימה למעגל שבדוגמה:

נציב ערכים ונקבל:

נגדיר כעת את המושג דטרמיננט:

הדטרמיננט של מטריצה,מסומן ב- Δ. זהו המספר המתקבל כתוצאה מן החישוב הזה:

הערה: דטרמיננט של מטריצה 2 על 2 יחושב כך:

נציב את המספרים ממטריצת ההתנגדויות שלמעלה ונפתור עוד שלושה דטרמיננטים, ונסמן אותם ב-

 :Δ₁,  Δ₂, Δ₃

 Δ₁הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת כאשר מחליפים את עמודה 1 של מטריצת ההתנגדויות ווקטור המתחים. באופן דומה מתקבל Δ₂ כשמחליפים את עמודה 2 בווקטור המתחים ו- Δ₃ כשמחליפים את עמודה 3 בווקטור המתחים:

כעת אפשר לפתור באמצעות דטרמיננטות ולמצוא את ערכם של המקדמים I1, I2, I3. 

באופן הזה:

אפשר גם להיעזר במחשבון לצורך מציאת הזרמים:

I1= -1.818[A]  ;  I2= -0.59[A]   ;   I3= 4.072[A]

שני הזרמים שהתקבלו עם סימן שלילי, בפועל זורמים הפוך מכפי שקבענו בתחילת התרגיל, כלומר נגד כיוון השעון. נסמן על גבי המעגל את כיוונם האמיתי ונרשום אותם עם סימן חיובי.

 וכאן אפשר לומר שסיימנו ללמוד את שיטת זרמי החוגים. כעת, לאחר השגת המטרה – מציאת זרמי החוגים הבלתי תלויים, אפשר להשיב על סעיפי התרגיל:

א.    זרם החוג I3 עובר דרך הנגד R4, לכן:

ב.   כדי לחשב את ההספק בנגד R2, נמצא תחילה את הזרם האמיתי דרכו. דרך הנגד R2 עוברים שני זרמי חוג – I1 וגם I2. בפועל דרך הנגד R2 עובר זרם אמיתי אחד. את הזרם הזה אפשר לחשב באמצעות כלל ההרכבה על שני זרמי החוג שעוברים דרכו. מאחר שזרם החוג I1 עובר דרכו בכיוון מעלה ואילו זרם החוג I2 עובר דרכו בכיוון מטה, הרי שהזרם האמיתי יהיה תוצאה של חיסור זרמי החוג (כי הם בכיוונים שונים זה לזה) וכיוונו יהיה ככיוון הזרם הגדול:

ג. למציאת הפרש המתחים בין שתי הנקודות, נבחר במסלול הקצר ביותר לאיסוף המתחים מנקודה X לנקודה Y. מומלץ, כפותרים בשיטת זרמי חוגים לבחור במסלולים שבהם אין הרכבה של זרמים. לכן נבחר בענף התחתון של המעגל ונסמן בו את קוטביות המתחים: