הערה חשובה החומר מבוסס על השתלמות בהנחיית נפתלי אבן חיים

אותות בזמן רציף ובזמן בדיד

2.1 אות רציף ואות בדיד. ייצוג מתמטי וגרפי של האותות.

 2.2 סוגים שונים של אותות רציפים ובדידים:
◦ אות רציף בעל עוצמה רציפה, אות רציף בעל עוצמה בדידה, אות בדיד עצמה רציפה,
אות בדיד עצמה בדידה.

2.3 אותות בזמן רציף :
           א. האות הסינוסואידלי: ייצוג מתמטי וגרפי של אות סינוסאידלי.

            התכונות מתמטיות של הפונקציות sin ו-cos . ייצוג של זוויות הפונקציות ברדיאנים ובמעלות,
             מחזוריות, זוגיות ואי זוגיות, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון.
◦         ב. פונקצית מדרגה: הגדרה, תיאור מתמטי וגרפי. תיאור של חלון מלבני כסכום, או הפרש של פונקצית
           מדרגה.
◦          ג. פונקצית הלם: הגדרה, תיאור מתמטי וגרפי. הצגת התלות המתמטית והקשר הגראפי בין אות מדרגה
           לאות הלם. הצגת התלות המתמטית והקשר הגראפי בין אות הלם לאות מדרגה.
◦         ד. אות מעריכי (אקספוננציאלי): הגדרה, תיאור של אותות נפוצים

2.4 אותות בזמן בדיד ◦ 

            א. פונקצית מדרגה: הגדרה, תיאור מתמטי וגרפי. ◦

            ב. פונקצית הלם: הגדרה, תיאור מתמטי וגרפי., הצגת התלות המתמטית והקשר הגראפי בין אות מדרגה לאות הלם. הצגת התלות המתמטית והקשר הגראפי בין אות הלם לאות מדרגה. ◦

            ג. תיאור של אותות נוספים הגדרה , תיאור מתמטי וגרפי. (1 (אות מעריכי. (2 (אות סינוסואידלי 5.2 ייצוג של אותות בדידים כסכום של אותות הלם אות מדרגה, דופק ריבועי ואות גיאומטרי

 2.6 תכונות והתמרות של אותות בזמן רציף ובזמן בדיד ◦

           א. הגדרה והדגמת המושגים: מחזוריות, זוגיות(סימטריות), חילופין, אות חסום, משך סופי ומשך אין סופי. ◦               ב. תיאור מתמטי וגראפי של התמרות המשתנה הבלתי תלוי – “זמן”: הזזה בזמן, כיווץ והרחבה, החזרת תמונת ראי. ◦ 

           ג. תיאור מתמטי וגראפי של התמרות המשתנה התלוי – [n[s), t(s :הוספת ערך קבוע ( (offset ,הגבר/ ניחות והיפוך מופע.

       אות רציף- Continuous Time Signalf

           אות רציף-Continuous Time Signal:-

         הגדרה: 

        אות רציף , הוא אות המוגדר בכל זמן שהוא החל מזמן התחלה מסויים ועד לזמן סיום מסוים.

         תיאור גרפי: 

   

           אות בדיד – Discrete Signal:-

         הגדרה: 

גודל פיסיקלי המוגדר רק בזמנים נקודתיים (בדידים) ומשתנה מזמן לזמן.
T
s
בדר”כ זמנים אלו הם כפולות שלמות של יחידת זמן בסיסית

         תיאור גרפי: 

           אותות בזמן רציף – האות הסינוסואידלי:-

❖ ייצוג מתמטי וגרפי של אות סינוסאידלי, כולל סרטוט ב MATLAB
❖ תכונות מתמטיות של הפונקציות sin ו-cos.
❖ ייצוג של זוויות ברדיאנים ובמעלות
❖ תכונות: מחזוריות, זוגיות ואי זוגיות, מופע
❖ חישוב נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון.

הגדרת מדרגת יחידה

פונציה אשר עד רגע 0=t ,לא כולל רגע זה, ערכה אפס וכאשר 0>t ערכה הוא 1.

מדרגה חיובית ומדרגה שלילית – גובה כלשהו

מדרגה מוזזת:

חלון מלבני:

           אותות בזמן רציף – פונקציית הלם:-

❑ הגדרה
❑ תיאור מתמטי וגרפי
❑ הצגת התלות המתמטית והקשר הגראפי בין אות מדרגה לאות הלם.
❑ הצגת התלות המתמטית והקשר הגראפי בין אות הלם לאות מדרגה.

מדרגה פיסקלית:

כח גדול מאוד הפועל במשך זמן קצר מאוד ( למשל ברק)

הגדרה מתמטית:

מקרה גבולי של אות ריבועי שבו רוחב הדופק ישאף לאפס, גובהו
ישאף לאינסוף ושטחו לא ישתנה וישווה ל- 1

תאור גרפי מקובל של פונקצית הלם:

          אות הלם – (t(δ נקרא גם דלתא של דיראק

הקשר המתמטי בין פונקצית הלם ופונקצית מדרגה:

 אותות בזמן רציף – אות מעריכי:

נניח כי קיימת פונקציה מהצורה:

אותות בזמן רציף – אות אקספוננציאלי:

הגדרה:

אות גיאומטי אשר בו הבסיס של החזקה – a הינו:
. . .a = e = 2.718
נקרא בשם ” בסיס הלוגריתם הטבעי”

האות יהיה מן הצורה:.x(t) = et

אותות בזמן בדיד – פונקצית הלם יחידה:

❑ הגדרה
❑ תיאור מתמטי וגרפי
❑ הצגת התלות המתמטית והקשר הגראפי בין אות מדרגה לאות הלם.
❑ הצגת התלות המתמטית והקשר הגראפי בין אות הלם לאות מדרגה

אותות בדידים

סוגים בסיסיים של אותות בזמן בדיד

               אות הלם יחידה- (δ(n

                         אות בדיד אות מדרגת יחידה –    u(n)

                         הקשר בין אות מדרגה לאות הלם בזמן בדיד

הקשר בין אות הלם לאות מדרגה בזמן בדיד

תוכנות והתמרות של אותות בזמן רציף ובזמן בדיד

◦ הגדרה והדגמת המושגים:

מחזוריות, זוגיות(סימטריות), חילופין, אות חסום, משך סופי ומשך אין סופי.

◦ תיאור מתמטי וגראפי של התמרות המשתנה הבלתי תלוי – “זמן”: הזזה בזמן, כיווץ והרחבה, החזרת תמונת ראי.

◦ תיאור מתמטי וגראפי של התמרות המשתנה התלוי – [n[s), t(s : הוספת ערך קבוע ( (offset ,הגבר/ ניחות והיפוך מופע

תוכנות כלליות של אותות בזמן בדיד

אות בעל משך סופי finite duration signal

אות x(n) נקרא אות בעל מזך זמן סופי, אם ערכו שונה מאפס במספר סופי של נקודות זמן, וערכו שווה לאפס בכל נקודות הזמן האחרות.

במונחים מתמטיים נגדיר זאת כך:

אות סיבתי casual signal

אות x[n] נקרא סיבתי אם הוא קיים (שונה מאפס) רק בזמנים אי-שליליים (אפס או חיובים), ומתאפס בכל הזמנים השליליים.

הגדרה מתמטית:

אות חסום bounded signal

הוא אות שכל ערכיו המוחלטים קטנים ממספר קבוע מסוים B לו כלומר,

(x|(n)|<B) עבור מספר סופי B,ולכל n.

מדרגת יחידה, הלם יחידה, אות סינוסואידלי הינם דוגמאות לאותות חסומים.

אות בעל סכום סופי:

אות שסכום הערכים המוחלטים של האות, בכל נקודות הזמן, יהיה סופי.

אות גיאומטרי an עבור |a|<1  הינו אות בעל סכום סופי.

מחזורי

אות סינוסואידלי הוא אות מחזורי אם ורק אם התדירות f0 היא מספר רציונלי.

בכך שונה אות סינוסואידלי בזמן בדיד מאות סינוסואידלי בזמן רציף שהוא מחזורי לכל ערך של f0.

הוכחה:

נניח כי f0 הוא מספר רציונלי,למשל:

התמרות פשוטות של המשתנה הבלתי תלוי (“זמן”)

החזרת תמונת ראי(“היפוך זמן”):

הזזת “זמן”

רציף x(t)=x(t-T)  בדיד: x(n)=x(n-N)

כאשר 0>Tאו N – הזזה ימינה.
כאשר 0<T או N –הזזה שמאלה

שינוי סקאלה לינארי: x(t)=x(a*t)

כאשר, 1>a – כיווץ של האות. 0> 1 <a – הרחבה של האות.

התמרות בסיסיות של אותות